La derivada como razón de cambio

La derivada como razón de cambio
La razón de cambio instantáneo de f(x)  respecto  a X en X1   es la derivada f '(X1)   siempre que la derivada exista.

Regla de L' Hopital

Regla de L' Hopital


Si , en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe 

, este límite coincide con  .





La regla de L'Hôpital se aplica directamente en las indeterminaciones:



Ejemplo:

Derivadas de orden superior

Derivadas de orden superior

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

Derivada de Funciones Paramétricas

Derivada de Funciones Paramétricas


Para poder entender la tangente y normal de una curva en coordenadas paramétricas, es necesario recordar la definición de derivada en coordenadas cartesianas para adaptarla parametrizandola.


La derivada es la pendiente de la recta tangente a un punto P(x_{o},y_{o}) en la curva  f(x).


lo que significa que:

 m=f'(x) 


 m=y' 


 m=tan(\alpha) 


 y'=dy/dt

Derivadas de la Forma F(x)g(x)

Derivadas de la Forma F(x)^g(x)

y=x^p ; p=kte   

Y=a^x                        

Y=x^x                            Y’=?

Y=x^{x   Antes de derivar se toma (Ln)}

                 

                                 

                               

                                  

                                   

                                  

Derivadas de funciones implícitas

Derivadas de funciones implícitas

Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

-x'=1.

-En general y'≠1.

-Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Ejemplos:

-
     

-
     

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:



-
      

Regla de la Cadena

Regla de la Cadena



Ejemplos aplicando esta regla:

-




-






-




-



-

Tabla de Derivadas básicas

Tabla de Derivadas básicas

Derivabilidad en Xo

Derivabilidad en Xo

Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.


El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

Ejemplos:

-

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.



La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.



-



La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.





Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 1.

Derivadas Laterales

Derivadas Laterales

Derivada por la izquierda



Derivada por la derecha



Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

Derivada de las funciones a trozos

En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.


Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.



     

     

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.



Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.




     

     

No es derivable en x = 0.